Опис
estimator (1.12) having bias (1.33) equal to zero EXAMPLE 1 For a random sample (1.6) of n independent random variables (2.10), each with the same normal distribution (2.50) with mean (2.35) µ and standard deviation (2.37) σ, the sample mean X (1.15) and the sample variance (1.16) S2 are unbiased estimators for the mean µ and the variance (2.36) σ2, respectively. EXAMPLE 2 As is mentioned in Note 1 to 1.37 the maximum likelihood estimator (1.35) of the variance σ2 uses the denominator n instead of n − 1 and thus is a biased estimator. In applications, the sample standard deviation (1.17) receives considerable use but it is important to note that the square root of the sample variance using n − 1 is a biased estimator of the population standard deviation (2.37). EXAMPLE 3 For a random sample of n independent pairs of random variables, each pair with the same bivariate normal distribution (2.65) with covariance (2.43) equal to ρσXY, the sample covariance (1.22) is an unbiased estimator for population covariance. The maximum likelihood estimator uses n instead of n − 1 in the denominator and thus is biased. NOTE Estimators that are unbiased are desirable in that on average, they give the correct value. Certainly, unbiased estimators provide a useful starting point in the search for “optimal” estimators of population parameters. The definition given here is of a statistical nature. In everyday usage, practitioners try to avoid introducing bias into a study by ensuring, for example, that the random sample is representative of the population of interest.
Опис
оценитељ (1.12) са пристрасношћу (1.33) једнакој нули
ПРИМЕР 1 За случајни узорак (1.6) од n независних случајних променљивих (2.10), свака са истом нормалном расподелом (2.50) са средњом вредношћу (2.35) m и стандардном девијацијом (2.37) s, средња вредност узорка
(1.15 ) и варијанса узорка (1.16)S_2 јесу непристрасни оценитељи средње вредности _m, односно варијансе (2.36) _s_2.
ПРИМЕР 2 Као што је поменуто у напомени 1 уз 1.37, оценитељ максималне вероватноће (1.35) варијансе s_2 користи именилац _n уместо n – 1 и самим тим је пристрасни оценитељ.У апликацијама се стандардна девијација узорка (1.17) користи у значајној мери, али је важно напоменути да је квадратни корен варијансе узорка помоћу n –1 пристрасни оценитељ стандардне девијације (2.37) популације.
ПРИМЕР 3 За случајни узорак од n независних парова случајних променљивих, сваки пар са истом дводимензионалном нормалном расподелом (2.65) са коваријансом (2.43) једнаком rsXY, коваријанса узорка (1.22) представља непристрасни оценитељ коваријансе популације. Оценитељ максималне вероватноће користи n уместо n – 1 у имениоцу и према томе је пристрасан.
НАПОМЕНА Оценитељи који су непристрасни су пожељни јер у просеку дају тачну вредност. Свакако, непристрасни оценитељи пружају корисну полазну тачку у потрази за „оптималним” оценитељима параметара популације. Дата дефиниција је статистичке природе.
У свакодневној употреби, практичари покушавају да избегну увођење пристрасности у студију тако што ће, на пример, обезбедити да случајни узоракбуде репрезентативан за популацију која нас занима.
