sample coefficient of kurtosis

arithmetic mean of the fourth power of the standardized sample random variables (1.19) from a random sample (1.6) EXAMPLE Continuing with the example from 1.9, the observed sample coefficient of kurtosis can be computed to be 2,674 19. For such a sample size as 10 in this example, the sample coefficient of kurtosis is highly variable, so it must be used with caution. Statistical packages use various adjustments in computing the sample coefficient of kurtosis (see Note 3 of 2.40). Using the alternate formula given in Note 1, the computed value is 0,436 05. The two values 2,674 19 and 0,436 05 are not comparable directly. To do so, take 2,674 19 – 3 (to relate to the kurtosis of the normal distribution which is 3) which equals −0,325 81 which now can be appropriately compared to 0,436 05. NOTE 1 The formula corresponding to the definition is: 

The second term in the expression is approximately 3 for large n. Sometimes the kurtosis is reported as a value as defined in 2.40 minus 3 to emphasize comparisons to the normal distribution. Obviously, a practitioner needs to be aware of the adjustments, if any, in statistical package computations. NOTE 2 Kurtosis refers to the heaviness of the tails of a (unimodal) distribution. For the normal distribution (2.50), the sample coefficient of kurtosis is approximately 3, subject to sampling variability. In practice, the kurtosis of the normal distribution provides a benchmark or baseline value. Distributions (2.11) with values smaller than 3 have lighter tails than the normal distribution; distributions with values larger than 3 have heavier tails than the normal distribution.

аритметичка средина четвртог степена узорка стандардизованих случајних променљивих (1.19) из случајног узорка (1.6)

ПРИМЕР              Настављајући са примером из 1.9, посматрани коефицијент спљоштености  узорка може да се израчуна да буде 2,674 19. За величину узорка као што је 10 у овом примеру, коефицијент спљоштености узорка је веома променљив, тако да се мора пажљиво користити. Статистички пакети користе различита прилагођавања у израчунавању коефицијента спљоштености узорка (видети напомену 3 у 2.40). Користећи алтернативну формулу дату у напомени 1, израчуната вредност је 0,436 05. Две вредности 2,674 19 и 0,436 05 нису директно упоредиве. Да би се то урадило, узме се 2,674 19 – 3 (што се односи на спљоштеност нормалне расподеле која је 3), која је једнака –0,325 81, што се сада може на одговарајући начин упоредити са 0,436 05.

НАПОМЕНА 1   Формула која одговара дефиницији је:

Други термин у изразу је приближно 3 за велико n. Понекад се спљоштеност приказује као вредност дефинисана у 2.40, умањена за 3 како би се нагласило поређење са нормалном расподелом.

Очигледно је да практичар треба бити свестан прилагођавања, ако их има, у прорачунима статистичких пакета.

НАПОМЕНА 2   Спљоштеност се односи на тежину репова (унимодалне) расподеле. За нормалну расподелу (2.50), коефицијент спљоштености узорка је приближно 3, зависно од предмета варијабилности узорковања. У пракси спљоштеност  нормалне расподеле даје референтну вредност или основну вредност. Расподеле (2.11) са вредностима мањим од 3 имају лакше репове од нормалне расподеле; расподеле са вредностима већим од 3 имају теже репове од нормалне расподеле.

НАПОМЕНА 3   За посматране вредности спљоштености много веће од 3, постоји могућност да основна расподела има заиста теже репове од нормалне расподеле. Узорак би могао бити контаминиран посматрањима из другог извора или грешком у кодирању.

НАПОМЕНА 4   Коефицијент спљоштености узорка може да се препозна као четврти моментузорка стандардизованих случајних променљивих .