coefficient of skewness

γ1 moment of order 3 (2.34) in the standardized probability distribution (2.32) of a random variable (2.10) EXAMPLE Continuing with the battery example of 2.1 and 2.7 having a mixed continuous-discrete distribution, one has, using results from the example in 2.34, 

To compute the coefficient of skewness, note that E {[X− E(X)]3} = E(X 3) − 3 E(X) E(X 2) + 2 [E(X)]3 and from 2.37 the standard deviation is 0,995. The coefficient of skewness is thus [5,4 − 3(0,9)(1,8) + 2(0,9)3]/(0,995)3 or 1,998. NOTE 1 An equivalent definition is based on the expectation (2.12) of the third power of (X−µ)/σ, namely E[(X−µ)3/σ3]. NOTE 2 The coefficient of skewness is a measure of the symmetry of a distribution (2.11) and is sometimes denoted by β 1 . For symmetric distributions, the coefficient of skewness is equal to 0 (provided the appropriate moments in the definition exist). Examples of distributions with skewness equal to zero include the normal distribution (2.50), the beta distribution (2.59) provided α = β and the t distribution (2.53) provided the moments exist.

_g_1

момент реда 3 (2.34) у стандардизованој расподели вероватноће (2.32) случајне променљиве (2.10)

ПРИМЕР   Настављајући са примером батерије из 2.1 и 2.7, имамо мешовито континуирано-дискретну расподелу, користећи резултате из примера у 2.34,

Да би се израчунао коефицијент асиметрије, забележи се Е {[_X_-_Е(_X)]3} = Е(X_3) - 3 Е(_X) Е(X_2) + 2 [Е(_X)]3 и из 2.37 стандардна девијација је 0,995. Коефицијент асиметрије је тако [5,4 - 3(0,9)(1,8) + 2(0,9)3]/(0,995)3 или 1,998.

НАПОМЕНА 1   Еквивалентна дефиниција се заснива на очекивању (2.12) треће снаге (X_-_m)/s, наиме Е_[(_X_-_m)3/_s_3].

НАПОМЕНА 2   Коефицијент асиметрије је мера симетрије расподеле (2.11) и понекад се означава са 

. За симетричне расподеле, коефицијент асиметрије је једнак 0 (под условом да постоје одговарајући моменти у дефиницији). Примери расподела са асиметријом једнаком нули обухватају нормалну расподелу (2.50), бета расподелу (2.59), под условом да је α = β, и t-расподелу (2.53) под условом да моменти постоје.