probability measure

non-negative function defined on the sigma algebra of events (2.69) such that a) ℘ (Ω) = 1, where Ω denotes the sample space (2.1), 

EXAMPLE Continuing the battery life example of 2.1, consider the event that the battery survives less than one hour. This event consists of the disjoint pair of events {does not function} and {functions less than one hour but functions initially}. Equivalently, the events can be denoted {0} and (0,1). The probability measure of {0} is the proportion of batteries that do not function upon the initial attempt. The probability measure of the set (0, 1) depends on the specific continuous probability distribution [for example, exponential (2.58)] governing the failure distribution. NOTE 1 A probability measure assigns a value from [0, 1] for each event in the sigma algebra of events. The value 0 corresponds to an event being impossible, while the value 1 represents certainty of occurrence. In particular, the probability measure associated with the null set is zero and the probability measure assigned to the sample space is 1. NOTE 2 Property b) indicates that if a sequence of events has no elements in common when considered in pairs, then the probability measure of the union is the sum of the individual probability measures. As further indicated in property b), this holds if the number of events is countably infinite. NOTE 3 The three components of the probability are effectively linked via random variables. The probabilities (2.5) of the events in the image set of the random variable (2.10) derive from the probabilities of events in the sample space. An event in the image set of the random variable is assigned the probability of the event in the sample space that is mapped onto it by the random variable. NOTE 4 The image set of the random variable is the set of real numbers or the set of ordered n-tuplets of real numbers. (Note that the image set is the set onto which the random variable maps.)

Ã

ненегативна функција дефинисана на сигма алгебри догађаја (2.69) тако да

a)   Ã (W) = 1,

где W  означава простор елементарних исхода (2.1),

ПРИМЕР   Настављајући са примером века трајања батерије из 2.1, размотрите случај да батерија траје мање од једног сата. Овај догађај се састоји од раздвојеног пара догађаја (не функционише) и (функционише мање од једног сата, али иницијално функционише). Такође, догађаји се могу означити као {0} и (0,1). Мера вероватноће {0} јесте део батерија који не функционишу у иницијалном покушају. Мера вероватноће скупа (0, 1) зависи од специфичне континуиране расподеле вероватноће (на пример, експоненцијална (2.58) која управља расподелом отказивања.

НАПОМЕНА 1   Мера вероватноће додељује вредност од [0, 1] за сваки догађај у сигма алгебра догађаја. Вредност 0 одговара догађају који је немогућ, док вредност 1 представља сигурност појављивања. Конкретно, мера вероватноће придружена скупу је нула, а мера вероватноће додељена простору елементарних исхода је 1.

НАПОМЕНА 2   Својство b) указује на то да ако низ догађаја нема заједничких елемената када се разматра у паровима, онда мера вероватноће уније је збир појединачних мера вероватноће. Као што је даље назначено у својству b), ово важи ако је број догађаја пребројиво бесконачан.

НАПОМЕНА 3   Три компоненте вероватноће су ефикасно повезане са случајном променљивом. Вероватноће (2.5) догађаја у скупу слика случајне променљиве (2.10) потичу из вероватноћа догађаја у простору елементарних исхода. Догађају у скупу слика случајне променљиве додељује се вероватноћа догађаја у простору елементарних исхода, који на њега пресликава случајна променљива. 

НАПОМЕНА 4   Скуп слика случајне променљиве јесте скуп реалних бројева или скуп уређених _n_-тих реалних бројева. (Треба имати у виду да је скуп слика скуп на који се случајне променљиве пресликавају).