Opis
pair of events (2.2) such that the probability (2.5) of the intersection of the two events is the product of the individual probabilities EXAMPLE 1 Consider a two die tossing situation, with one red die and one white die so as to distinguish the 36 possible outcomes with probability 1/36 assigned to each. Di is defined as the event where the sum of the dots on the red and white die is i. W is defined as the event that the white die shows one dot. The events D7 and W are independent, whereas the events Di and W are not independent for i = 2, 3, 4, 5 or 6. Events that are not independent are referred to as dependent events. EXAMPLE 2 Independent and dependent events arise naturally in applications. In cases where events or circumstances are dependent, it is quite useful to know of the outcome of a related event. For example, an individual about to undergo heart surgery could have very different prospects for success, if it is the case that this individual had a smoking history or other risk factors. Thus, smoking and death from invasive procedures could be dependent. In contrast, death would likely be independent of the day of the week that this person was born. In a reliability context, components having a common cause of failure do not have independent failure times. Fuel rods in a reactor have a presumably low probability of cracks occurring but given that a fuel rod cracks, the probability of an adjacent rod cracking may increase substantially. EXAMPLE 3 Continuing Example 2 of 2.2, assume that the sampling has been done by simple random sampling, such that all outcomes have the same probability 1/45. Then P(A) = 17/45 = 0,377 8, P(B) = 21/45 = 0,466 7 and P(A and B) = 11/45 = 0,244 4. However, the product P(A) × P(B) = (17/45) × (21/45) = 0,176 3, which is different from 0,244 4, so the events A and B are not independent.
NOTE This definition is given in the context of two events but can be extended. For events A and B, the independence condition is P(A∩B) = P (A) P(B ).
In general, for more than two events, A1, A2, …, An are independent if the probability of the intersection of any given subset of the events equals the product of the individual events, this condition holding for each and every subset. It is possible to construct an example in which each pair of events is independent, but the three events are not independent (i.e. pairwise, but not complete independence).
Opis
пар догађаја (2.2) који је такав да је вероватноћа (2.5) пресека два догађаја производ појединачних вероватноћа
ПРИМЕР 1 Размотрите ситуацију бацања две коцке, једне црвене и једне беле како би се разликовало 36 могућих исхода са вероватноћом 1/36, која је додељена свакој. Di је дефинисан као догађај где је збир тачака на црвеној и белој коцкици i. W је дефинисан као догађај када бела коцка покаже једну тачку. Догађаји D_7 и _W су независни, док догађаји Di и W нису независни заi = 2, 3, 4, 5 или 6. Догађаји који нису независни називају се зависни догађаји.
ПРИМЕР 2 Независни и зависни догађаји настају природно у апликацијама. У случајевима када су догађаји или околности зависни, корисно је да се зна исход повезаног догађаја. На пример, особа која треба да се подвргне операцији срца могла би да има врло различите изгледе за успех, у случају да је та особа имала историју пушења или друге факторе ризика. Дакле, пушење и смрт од инвазивних поступака могли би бити зависни. Супротно томе, смрт би вероватно била независна од дана у недељи када је та особа рођена. У контексту поузданости, компоненте које имају заједнички узрок квара немају независно време квара. Горивне шипке у реактору имају вероватно малу вероватноћу појављивања пукотина, али с обзиром на то да горивна шипка пуца, вероватноћа пуцања суседне шипке може се знатно повећати.
ПРИМЕР 3 Настављајући са примером 2 у 2.2, претпоставља се да је узорковање извршено једноставним случајним узорковањем, тако да сви исходи имају исту вероватноћу 1/45. Тако да је P(A) = 17/45 = 0,377 8, P(B) = 21/45 = 0,466 7 и P(А и B) = 11/45 = 0,244 4. Међутим, производ P(A) ´ P(B) = (17/45) ´ (21/45) = 0,176 3, што је различито од 0,244 4, тако да догађаји А и B нису независни.
НАПОМЕНА Ова дефиниција је дата у контексту два догађаја, али се може проширити. За догађаје А и B, услов независности је P(AÇB) = P (A) P(B).
Уопштено, за више од два догађаја А_1, А2, …, Аn_ кажемо да су независни ако је вероватноћа пресека било ког датог подскупа догађаја једнака производу индивидуалних догађаја, што је услов за сваки подскуп. Могуће је конструисати пример у коме је сваки пар догађаја независан, али три догађаја нису независна (тј. у пару, али нису потпуно независна).
