expectation

integral of a function of a random variable (2.10) with respect to a probability measure (2.70) over the sample space (2.1) NOTE 1 The expectation of the function g of a random variable.

NOTE 2 The “E” in E[g(X)] comes from the “expected value” or “expectation” of the random variable X. E can be viewed as an operator or function that maps a random variable to the real line according to the above calculation. NOTE 3 Two integrals are given for E[g(X)]. The first treats the integration over the sample space which is conceptually appealing but not of practical use, for reasons of clumsiness in dealing with events themselves (for example, if given verbally). The second integral depicts the calculation over the Rk, which is of greater practical interest. NOTE 4 In many cases of practical interest, the above integral reduces to a form recognizable from calculus. Examples are given in the notes to moment of order r (2.34) where g(x) = xr , mean (2.35) where g(x) = x and variance (2.36) where g(x) = [x − E(X)]2. NOTE 5 The definition is not restricted to onedimensional integrals as the previous examples and notes might suggest. For higher dimensional situations, see 2.43. NOTE 6 For a discrete random variable (2.28), the second integral in Note 1 is replaced by the summation symbol. Examples can be found in 2.35.

интеграл функције случајне променљиве (2.10) у односу на меру вероватноће (2.70) преко простора елементарних исхода (2.1)

НАПОМЕНА 1   Очекивање функције g случајне променљиве X означава се са Е_[_g (X)] и израчунава се као:

НАПОМЕНА 2   „Е” у Е_[_g(X)] потиче од „очекиване вредности” или „очекивања” случајне променљиве X. Е се може посматрати као оператор или функција која случајну променљиву пресликава у низ реалних бројева према горњем прорачуну.

НАПОМЕНА 3   За Е_[_g(X)] дата су два интеграла. Први се бави интеграцијом преко простора елементарних исхода, који је концептуално привлачан, али није од практичног интереса, због неспретности у бављењу самим догађајима (на пример, ако су дати усмено). Други интеграл приказује прорачун преко Rk, што је од већег практичног интереса.

НАПОМЕНА 4 У многим случајевима од практичног интереса, горњи интеграл се своди на препознатљиву форму из прорачуна. Примери су дати у напоменама уз момент реда r (2.34Error! Reference source not found.), где је g(x) = xr, средњу вредност (2.35), где је g(x) = x, и варијансу (2.36), где је g(x) = [_x_ - Е(X)]2.

НАПОМЕНА 5   Дефиниција није ограничена на једнодимензионалне интеграле као што могу сугерисати претходни примери и напомене. За ситуације са више димензија видети 2.43.

НАПОМЕНА 6   За дискретну случајну променљиву (2.28), други интеграл у напомени 1 је замењен симболом сумирања. Примери се могу наћи у 2.35.